Задача. В Excel таблице собраны персональные данные клиентов банка. Столбцы таблицы отражают следующие сведения о клиенте
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Возраст (лет) | Количество иждивенцев | Доход (руб./мес.) | Срок проживания в регионе (лет) | Оценка автомобиля заемщика (USD) | Размер кредита (тыс. руб.) |
Выполнить первичную обработку данных. Сделать первые выводы.
- Выполнить центрирование данных и такую нормировку, что евклидова норма каждого признака равна 1 (полученная матрица обозначается через Z).
- Найти SVD разложение матрицы Z (матрицы U, S, V). Докажите, что при выбранной нормировке, коэффициенты разложения столбцов матрицы Z по скрытым факторам являются корреляциями этих столбцов и скрытых факторов.
- Исследуйте, сколько скрытых факторов (главные факторы) достаточно для хорошей аппроксимации матрицы данных Z. Заменить значения исходных признаков линейными комбинациями главных факторов (матрица Z k , k – число главных факторов). Оценить погрешность аппроксимации в евклидовой матричной норме и норме Фробениуса.
- Сравнить матрицы корреляций признаков для матрицы Z и матрицы Z k . Оценить качество аппроксимации по близости матриц корреляций (можно использовать относительную погрешность в одной из матричных норм)
- Используя выделенные главные факторы, найти представления клиентов векторами меньшей размерности (размерности k).
- Используя представление клиентов векторами меньшей размерности, построить карту клиентов. Сделать выводы о клиентах банка.
- Выписать матрицу коэффициентов разложения признаков z j по главным факторам. Исследовать структуру этой матрицы с целью выделения групп признаков тесно связанных с каждым из главных факторов.
- На основе анализа структуры матрицы коэффициентов разложения, предложить интерпретацию выделенным главным факторам.
- Дать интерпретацию построенной выше карте клиентов.
- Выполнить вращения в пространстве главных факторов с целью улучшения структуры матрицы коэффициентов разложения признаков z j по главным факторам. В случае улучшения структуры, найти новое представление клиентов векторами меньшей размерности (размерности k). Построить улучшенную карту клиентов и дать ее интерпретацию.
- Предложите способ вычисления расстояния между клиентами и вычислите матрицу расстояний.
- Проверьте, можно ли клиентов банка поместить в евклидово пространство размерности 2 с сохранением расстояний между клиентами.
- используйте любой из алгоритмов MDS для размещения объектов в евклидовом пространстве размерности 2. Оцените погрешность такого размещения. Постройте карту клиентов.
- Сравните с картами клиентов из предыдущих пунктов и сделайте выводы.